Escala log: o gráfico de 20 anos mente em escala normal

A ideia: reais ou porcentagem?

Num gráfico comum, um centímetro na vertical vale sempre a mesma quantidade de reais. Digamos, R$ 5. Com o papel a R$ 2, subir R$ 5 é multiplicar o preço por 3,5. Com o papel a R$ 50, subir R$ 5 é ganhar 10%. O mesmo espaço na tela representa coisas completamente diferentes, e o olho não corrige isso sozinho.

A escala logarítmica conserta isso: cada andar igual no eixo vertical passa a valer a mesma porcentagem, e não os mesmos reais. Dobrar de R$ 1 para R$ 2 ocupa a mesma altura que dobrar de R$ 25 para R$ 50. E é assim que o seu patrimônio vive: em múltiplos, não em reais por ação.

A mesma série, dois eixos

A WEGE3 foi de R$ 1,33 em setembro de 2004 a R$ 51,16 em setembro de 2026. Multiplicou por 38,6, o que dá perto de 19% ao ano, composto.

Mesmos dados, mesmo período. À esquerda, cada andar vale R$ 10; à direita, cada andar vale o dobro do anterior.

Na escala normal (à esquerda), de 2004 a 2016 parece que nada aconteceu, e de 2019 em diante parece que o papel "virou outra coisa". Só que entre 2004 e janeiro de 2016 (R$ 5,95) a ação multiplicou o preço por 4,5. Só não aparece porque aconteceu com o preço baixo.

Na escala log (à direita), a série é quase uma rampa. Você enxerga o que importa: onde a inclinação mudou. Trechos paralelos em alturas diferentes são a mesma taxa de crescimento. Trecho mais íngreme, taxa maior.

Crescimento composto desenha uma curva que acelera na escala normal e uma reta na log. Quem olha a curva acelerando acha que algo mudou, quando o papel só continuou fazendo a mesma coisa.

O log-retorno: a conta que fecha

O mesmo problema aparece nas contas. Um papel vai de 100 a 200 (+100%) e volta a 100 (−50%). Você está onde começou. Mas se somar as porcentagens, dá +50%, o que é falso.

O log-retorno resolve. Em palavras: é o logaritmo natural (a tecla "ln" da calculadora) da razão entre o preço final e o preço inicial.

• De 100 para 200: ln(200 ÷ 100) = ln(2) = +0,693.
• De 200 para 100: ln(100 ÷ 200) = ln(0,5) = −0,693.
• Soma: zero. Exatamente onde você está.

Nos movimentos pequenos, porcentagem e log quase coincidem. Nos grandes, só o log mostra que dobrar e cair pela metade são movimentos do mesmo tamanho.

A propriedade que faz o trabalho: log-retornos se somam no tempo. O log-retorno de um ano é a soma dos doze meses. Por isso as contas de volatilidade da aula 2 rodam em log por baixo.

Um caso real. A PETR4 fechou maio de 2008 a R$ 49. Em janeiro de 2016, estava a R$ 4,84: queda de 90%, log-retorno ln(4,84 ÷ 49) = −2,31. Em 29/09/2026, estava a R$ 49,10: subida de 914% desde o fundo, log-retorno +2,32. Em porcentagem, −90% e +914% parecem coisas de tamanhos absurdamente diferentes. Em log, são o mesmo tamanho, com sinais trocados. É a mesma viagem, de ida e de volta.